Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 6$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $3 x^{2} + 6 x - 24$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 6 x - 24$ .

$3 x^{2} + 6 x - 24$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 6 x - 24 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 24 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 6 x - 24$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x - 24 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 24 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $3$ da $- 24$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8$ .

$3 (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 2 x - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $2$ .

$- 2, 4$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$3 ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 2) (x + 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 2) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 2, - 4$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $2, - 4$ .

$2, - 4$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = 3 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) - 24$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = 3 \cdot 25 + 6 (- 5) - 24$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $25$ .

$f' (- 5) = 75 + 6 (- 5) - 24$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 5$ .

$f' (- 5) = 75 - 30 - 24$

Passaggio 5.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $30$ da $75$ .

$f' (- 5) = 45 - 24$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $24$ da $45$ .

$f' (- 5) = 21$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $21$ .

$21$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 5$ la derivata è $21$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 4)$ .

Crescente su $(- \infty, - 4)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) - 24$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 + 6 (- 1) - 24$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (- 1) = 3 + 6 (- 1) - 24$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 - 6 - 24$

Passaggio 6.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $6$ da $3$ .

$f' (- 1) = - 3 - 24$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $24$ da $- 3$ .

$f' (- 1) = - 27$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 27$ .

$- 27$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 27$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 4, 2)$ .

Decrescente su $(- 4, 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 6 (3) - 24$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 6 (3) - 24$

Passaggio 7.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3) = 3^{1 + 2} + 6 (3) - 24$

Passaggio 7.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f' (3) = 3^{3} + 6 (3) - 24$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (3) = 27 + 6 (3) - 24$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $6$ per $3$ .

$f' (3) = 27 + 18 - 24$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $27$ e $18$ .

$f' (3) = 45 - 24$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $24$ da $45$ .

$f' (3) = 21$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $21$ .

$21$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $21$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 4), (2, \infty)$

Decrescente su: $(- 4, 2)$

Passaggio 9