Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{1}{x}$ . Allora $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , quindi $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{1}{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Passaggio 1.3

Dividi $1$ per $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - e^{u} d u$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{u} d u$

Passaggio 3

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $e^{u}$ per $\frac{1}{2}$ e per $1$ .

$- ((e^{\frac{1}{2}}) - e^{1})$

Passaggio 4.2

Semplifica.

$- (e^{\frac{1}{2}} - e)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- e^{\frac{1}{2}} - - e$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- - e$ .

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + 1 e$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $e$ per $1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Forma decimale:

$1.06956055 \dots$

Passaggio 7