Calcolo Esempi

$f (x) = e^{- x} \sqrt{x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 8.3

$e^{- x}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 8.4

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 9.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 10

Differenzia.

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Passaggio 10.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 10.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 10.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 10.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 10.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})$

Passaggio 10.3.4

Riordina i termini.

$- e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$