Calcolo Esempi

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 x^{2} y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 2.5.2

Riordina i fattori di $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x^{2} y' + y (2 x))$

Passaggio 3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x^{2} y') + 4 (2 y x)$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 x^{2} y' + 8 y x$

Passaggio 3.6.3

Riordina i termini.

$4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.3

Espandi $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.7

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.7.1

Sposta $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.7.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.7.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.1.4.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Passaggio 5.2

Sottrai $4 x^{2} y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $4 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $4 x y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Passaggio 5.4

Scomponi $4 y'$ da $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $4 y'$ da $4 y y' x^{2}$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $4 y'$ da $4 y^{3} y'$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $4 y'$ da $- 4 x^{2} y'$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $4 y'$ da $4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3}$ .

$4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $4 y'$ da $4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2})$ .

$4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Passaggio 5.5

Dividi per $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ ciascun termine in $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ ciascun termine in $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ .

$\frac{4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $y x^{2} + y^{3} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.1.1

Scomponi $4$ da $8 x y$ .

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Passaggio 5.5.3.1.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Passaggio 5.5.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Passaggio 5.5.3.1.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Passaggio 5.5.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Passaggio 5.5.3.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Passaggio 5.5.3.1.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 x y - x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 x y - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Scomponi $x$ da $2 x y - x^{3} - x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$y' = \frac{x (2 y) - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.1.2

Scomponi $x$ da $- x^{3}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.1.3

Scomponi $x$ da $- x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.1.4

Scomponi $x$ da $x (2 y) + x (- x^{2})$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.1.5

Scomponi $x$ da $x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Riscrivi $- 1 y^{2}$ come $- y^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$