Calcolo Esempi

$\int_{1}^{6} x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 5 x^{2} + 4$ . Allora $d u = 10 x d x$ , quindi $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 5 x^{2} + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $5 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $10 x$ e $0$ .

$10 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 5 x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 1^{2} + 4$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 5 \cdot 1 + 4$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$u_{lower} = 5 + 4$

Passaggio 1.3.2

Somma $5$ e $4$ .

$u_{lower} = 9$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 5 x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 6^{2} + 4$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 36 + 4$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $5$ per $36$ .

$u_{upper} = 180 + 4$

Passaggio 1.5.2

Somma $180$ e $4$ .

$u_{upper} = 184$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 184$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{9}^{184} \sqrt{u} \frac{1}{10} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{10}$ .

$\int_{9}^{184} \frac{\sqrt{u}}{10} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{10}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{10} \int_{9}^{184} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{10} \int_{9}^{184} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{10} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{184}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $184$ e per $9$ .

$\frac{1}{10} ((\frac{2}{3} \cdot 184^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{2}{3}$ e $184^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Passaggio 6.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 6.2.7

$- 27$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Passaggio 6.2.8

Moltiplica $- 27$ per $2$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Passaggio 6.2.9

Elimina il fattore comune di $- 54$ e $3$ .

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Passaggio 6.2.9.1

Scomponi $3$ da $- 54$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Passaggio 6.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.9.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Passaggio 6.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Passaggio 6.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Passaggio 6.2.9.2.4

Dividi $- 18$ per $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 \cdot 184^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{10} \cdot - 18$

Passaggio 7.2

Combina.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{10} \cdot - 18$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.3.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} \cdot - 18$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 9)$

Passaggio 7.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 9)$

Passaggio 7.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{1}{5} \cdot - 9$

Passaggio 7.4

$\frac{1}{5}$ e $- 9$ .

$\frac{1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})}{10 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

Passaggio 7.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scomponi $2$ da $1 (2 \cdot 184^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{10 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

Passaggio 7.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Scomponi $2$ da $10 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{2 (5 \cdot 3)} + \frac{- 9}{5}$

Passaggio 7.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 \cdot (184^{\frac{3}{2}}))}{2 (5 \cdot 3)} + \frac{- 9}{5}$

Passaggio 7.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 \cdot (184^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

Passaggio 7.5.3

Moltiplica $184^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 3} + \frac{- 9}{5}$

Passaggio 7.5.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} + \frac{- 9}{5}$

Passaggio 7.5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{9}{5}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{184^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{9}{5}$

Forma decimale:

$164.59316225 \dots$

Passaggio 9