Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Passaggio 2.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 7

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 7.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 7.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 7.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Passaggio 7.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 8

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Passaggio 10

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $t$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Passaggio 11.2

Calcola $\sin (u)$ per $π$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Passaggio 11.3

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Passaggio 12.3

Somma $\sin (π)$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Passaggio 12.4

$\frac{1}{2}$ e $\sin (π)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Passaggio 13.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 13.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Passaggio 13.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Passaggio 13.3

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 13.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 13.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 13.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π}{4}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{4}$

Forma decimale:

$0.78539816 \dots$

Passaggio 15