Calcolo Esempi

$\int \sin (4 x) \cos (4 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \sin (4 x)$ . Allora $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \sin (4 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{4} d u_{2}$

Passaggio 2

$u_{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u_{2}}{4} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ come $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{8} \sin^{2} (4 x) + C$