Calcolo Esempi

$\int x^{2} \sin (3 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = \sin (3 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\cos (3 x)$ e $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

Passaggio 2.2

$x^{2}$ e $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $- \frac{1}{3} \cdot 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{1}{3} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int \cos (3 x) (x) d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int \cos (3 x) (x) d x)$

Passaggio 4.2

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (\frac{- 2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

Passaggio 4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- \frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (3 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$\frac{1}{3}$ e $\sin (3 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Passaggio 6.2

$x$ e $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{3}$ e $\sin (3 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x))$

Passaggio 8

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u)$

Passaggio 9

$\sin (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u))$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Riscrivi $- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$ come $- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

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Passaggio 13.2.1

Per scrivere $\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Passaggio 13.2.2

$\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 13.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 13.2.4

$3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Passaggio 13.2.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{6}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Passaggio 13.2.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

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Passaggio 13.2.6.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Passaggio 13.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Passaggio 13.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Passaggio 13.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Passaggio 13.2.6.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9})}{3} + C$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 2 \frac{\cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Passaggio 15.1.2

$2$ e $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2 (x \sin (3 x))}{3} + 2 \frac{\cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Passaggio 15.1.3

$2$ e $\frac{\cos (3 x)}{9}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2 (x \sin (3 x))}{3} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Passaggio 15.1.4

Per scrivere $- x^{2} \cos (3 x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} - x^{2} \cos (3 x) \cdot \frac{9}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Passaggio 15.1.5

$- x^{2} \cos (3 x)$ e $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Passaggio 15.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Passaggio 15.1.7

Per scrivere $\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Passaggio 15.1.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 15.1.8.1

Moltiplica $\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Passaggio 15.1.8.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{9} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Passaggio 15.1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3 - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Passaggio 15.1.10

Riscrivi $\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3 - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 15.1.10.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\frac{6 x \sin (3 x) - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Passaggio 15.1.10.2

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Passaggio 15.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3} + C$

Passaggio 15.3

Moltiplica $\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 15.3.1

Moltiplica $\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9 \cdot 3} + C$

Passaggio 15.3.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{27} + C$

Passaggio 15.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{27} (6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)) + C$