Calcolo Esempi

$\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$

Passaggio 1

Riordina $e^{3 x}$ e $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{3 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (2 x)$ e $d v = e^{3 x}$ .

$\cos (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3} \cdot - 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3} \cdot - 2$ fuori dall'integrale.

$\cos (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$\cos (2 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Passaggio 4.2

$\cos (2 x)$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Passaggio 4.3

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Passaggio 4.4

Riordina $e^{3 x}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int \sin (2 x) e^{3 x} d x)$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (2 x)$ e $d v = e^{3 x}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 \cos (2 x)) d x))$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3} \cdot 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Passaggio 7.2

$\sin (2 x)$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

Passaggio 7.5

Moltiplica $\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3}$ per $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{3 \cdot 3} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

Passaggio 7.6

Moltiplica.

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Passaggio 7.6.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + 1 (\frac{- 2}{3}) (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)$

Passaggio 7.6.3

Moltiplica $\frac{- 2}{3}$ per $1$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 2}{3} (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)$

Passaggio 7.7

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{2 \cdot - 2}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

Passaggio 7.8

Moltiplica.

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Passaggio 7.8.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 4}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 4}{9} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

Passaggio 8

Risolvendo $\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$ , troviamo che $\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9}}{\frac{13}{9}}$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1

Sposta $- 2$ alla sinistra di $\sin (2 x) e^{3 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2 \cdot (\sin (2 x) e^{3 x})}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Passaggio 9.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - - \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + 1 \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $\frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}$ per $1$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{13}{9}$ .

$(\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{13} + C$

Passaggio 9.2

Riscrivi $(\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{13} + C$ come $(\frac{1}{3} \cos (2 x) e^{3 x} + \frac{2}{9} \sin (2 x) e^{3 x}) \frac{9}{13} + C$ .

$(\frac{1}{3} \cos (2 x) e^{3 x} + \frac{2}{9} \sin (2 x) e^{3 x}) \frac{9}{13} + C$