Calcolo Esempi

$\int e^{- x} \cos (2 x) d x$

Passaggio 1

Riordina $e^{- x}$ e $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{- x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (2 x)$ e $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Passaggio 3

Poiché $- - 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- - 2$ fuori dall'integrale.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (- - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- x}$ e $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int \sin (2 x) e^{- x} d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (2 x)$ e $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 \cos (2 x)) d x)$

Passaggio 6

Poiché $- 1 \cdot 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1 \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Passaggio 7

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Passaggio 7.4

Moltiplica.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 4 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x$

Passaggio 8

Risolvendo $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ , troviamo che $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5} + C$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ come $\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Scomponi $e^{- x}$ da $- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

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Passaggio 9.2.1.1

Scomponi $e^{- x}$ da $- \cos (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Passaggio 9.2.1.2

Scomponi $e^{- x}$ da $2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))}{5} + C$

Passaggio 9.2.1.3

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Passaggio 9.2.2

Scomponi $- 1$ da $- \cos (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Passaggio 9.2.3

Scomponi $- 1$ da $2 \sin (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Passaggio 9.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Passaggio 9.2.5

Riscrivi $- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ come $- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Passaggio 9.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{5} e^{- x} (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)) + C$