Calcolo Esempi

$\int \sec^{3} (x) \tan^{3} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\tan^{2} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) (\tan^{2} (x) \tan (x)) d x$

Passaggio 2

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) ((- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x)) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \sec (x)$ . Allora $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} (- 1 + u^{2}) d u$

Passaggio 4

Moltiplica $u^{2} (- 1 + u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$\int - 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.2

Riscrivi $- 1 u^{2}$ come $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 5.3.2

Somma $2$ e $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (x) + \frac{1}{5} \sec^{5} (x) + C$