Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{4}} d x$

Passaggio 1

Sposta $x^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{2} + 2 x - 3) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 2 x - 3) x^{4 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int (x^{2} + 2 x - 3) x^{- 4} d x$

Passaggio 3

Espandi $(x^{2} + 2 x - 3) x^{- 4}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{2} + 2 x) x^{- 4} - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{2} x^{- 4} + 2 x \cdot x^{- 4} - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{2 - 4} + 2 x \cdot x^{- 4} - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.4

Sottrai $4$ da $2$ .

$\int x^{- 2} + 2 x \cdot x^{- 4} - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{- 2} + 2 (x^{1} x^{- 4}) - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{- 2} + 2 x^{1 - 4} - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.7

Sottrai $4$ da $1$ .

$\int x^{- 2} + 2 x^{- 3} - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{- 2} d x + \int 2 x^{- 3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int 2 x^{- 3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- x^{- 1} + C + 2 \int x^{- 3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 8.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 3 x^{- 4} d x$

Passaggio 9

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 \int x^{- 4} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

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Passaggio 11.1.1

$x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Passaggio 11.1.2

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Passaggio 11.3

Semplifica.

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 11.3.2

$3$ e $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 11.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 11.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 11.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + C$