Calcolo Esempi

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 2 \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $4$ da $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $4 \tan^{2} (t)$ come ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $2 \sec (t)$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 \sec (t)$ da $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Passaggio 3

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 6

Somma $1$ e $1$ .

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 8

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Passaggio 11

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$2 (- t + \tan (t)) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 14.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $arcsec (\frac{x}{2})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Perciò, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ è $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

Passaggio 14.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Passaggio 14.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{x}{2}$ e $b = 1$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Passaggio 14.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Passaggio 14.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Passaggio 14.1.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

Passaggio 14.1.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

Passaggio 14.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

Passaggio 14.1.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

Passaggio 14.1.10

Moltiplica $\frac{x + 2}{2}$ per $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

Passaggio 14.1.11

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

Passaggio 14.1.12

Riscrivi $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Passaggio 14.1.12.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

Passaggio 14.1.12.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

Passaggio 14.1.12.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

Passaggio 14.1.13

Estrai i termini dal radicale.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

Passaggio 14.1.14

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Passaggio 14.2

Per scrivere $- arcsec (\frac{x}{2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Passaggio 14.3

$- arcsec (\frac{x}{2})$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Passaggio 14.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Passaggio 14.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 14.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Passaggio 14.5.2

Riscrivi l'espressione.

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Passaggio 14.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$