Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 9}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 3 \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $9$ da $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $9 \tan^{2} (t)$ come ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $3 \tan (t)$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $3 \tan (t)$ da $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \sec (t) d t$

Passaggio 3

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{3})) + \tan (arcsec (\frac{x}{3})) |) + C$

Passaggio 5

Riordina i termini.

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} x)) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} x)) |) + C$