Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

Passaggio 1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

Passaggio 2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 3

Moltiplica l'argomento per $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.1

Combina.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ per $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ per $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\sec (\frac{x}{2})$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 6.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 6.4

Riscrivi $\sec (\frac{x}{2})$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Passaggio 6.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 6.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 6.7

Elimina il fattore comune di $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Passaggio 6.7.1

Scomponi $\cos (\frac{x}{2})$ da $- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 6.7.2

Scomponi $\cos (\frac{x}{2})$ da $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 6.7.3

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 6.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 6.8

$\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ e $- 2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 6.9

$\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 6.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 7

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ a $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 8

Converti da $\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ a $2 \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Passaggio 9

Trasforma $\sec^{2} (x)$ in $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Passaggio 10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 11

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 11.1

Rimetti in ordine i termini.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 11.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 11.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

Passaggio 11.4

Riscrivi il polinomio.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 11.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = 1$ e $b = \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

Passaggio 12

Sia $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 12.1

Sia $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 12.1.1

Differenzia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 12.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 12.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

Passaggio 13.3

$\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ e $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 13.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 14

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 15

Sia $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 15.1

Sia $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 15.1.1

Differenzia $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

Passaggio 15.1.2

Differenzia.

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Passaggio 15.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Passaggio 15.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Passaggio 15.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

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Passaggio 15.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- \tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Passaggio 15.1.3.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

Passaggio 15.1.4

Sottrai $\sec^{2} (u_{1})$ da $0$ .

$- \sec^{2} (u_{1})$

Passaggio 15.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 17

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Passaggio 18

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 18.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 18.2

Sposta ${u_{2}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 18.3

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 18.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 18.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 19

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- 2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Passaggio 20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Riscrivi $- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ come $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Passaggio 20.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Passaggio 20.2.2

$2$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2}{u_{2}} + C$

Passaggio 21

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 21.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

Passaggio 21.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

Passaggio 22

Riordina i termini.

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$