Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} + 5 e^{5 x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Passaggio 2.2

Sposta $x^{\frac{3}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.3.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int 5 e^{5 x} d x$

Passaggio 4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{5 x} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 5 x$ . Allora $d u = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 1 \int e^{u} d u$

Passaggio 8.3

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int e^{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + e^{u} + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Passaggio 10.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{5 x} + C$