Calcolo Esempi

$\int (\sqrt{t^{6} + 5 t}) (6 t^{5} + 5) d t$

Passaggio 1

Sia $u = t^{6} + 5 t$ . Allora $d u = (6 t^{5} + 5) d t$ , quindi $\frac{1}{6 t^{5} + 5} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = t^{6} + 5 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $t^{6} + 5 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{6} + 5 t]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{6} + 5 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 t^{5} + \frac{d}{d t} [5 t]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{5} + 5 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 t^{5} + 5 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$6 t^{5} + 5$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{6} + 5 t$ .

$\frac{2}{3} {(t^{6} + 5 t)}^{\frac{3}{2}} + C$