Calcolo Esempi

$\int \frac{e^{u}}{{(1 - e^{u})}^{2}} d u$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 1 - e^{u}$ . Allora $d u_{1} = - e^{u} d u$ , quindi $- \frac{1}{e^{u}} d u_{1} = d u$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 1 - e^{u}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - e^{u}$ .

$\frac{d}{d u} [1 - e^{u}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - e^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $1$ rispetto a $u$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $- e^{u}$ rispetto a $u$ è $- \frac{d}{d u} [e^{u}]$ .

$0 - \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 - e^{u}$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $e^{u}$ da $0$ .

$- e^{u}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$ come $- - \frac{1}{u_{1}} + C$ .

$- - \frac{1}{u_{1}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 - e^{u}$ .

$\frac{1}{1 - e^{u}} + C$