Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{7} 2 {(- 2)}^{n - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{2 {(- 2)}^{n + 1 - 1}}{2 {(- 2)}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{2 {(- 2)}^{n + 1 - 1}}{2 {(- 2)}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- 2)}^{n + 1 - 1}}{{(- 2)}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(- 2)}^{n + 1 - 1}$ e ${(- 2)}^{n - 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(- 2)}^{n - 1}$ da ${(- 2)}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}$ per $1$ .

$r = {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $n$ e $0$ .

$r = {(- 2)}^{n - (n - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(- 2)}^{n - n - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(- 2)}^{n - n + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $n$ da $n$ .

$r = {(- 2)}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(- 2)}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Calcola l'esponente.

$r = - 2$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 3.1

Sostituisci $n$ con $1$ in $2 {(- 2)}^{n - 1}$ .

$a = 2 {(- 2)}^{1 - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = 2 {(- 2)}^{0}$

Passaggio 3.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 2 \cdot 1$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a = 2$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$2 \frac{1 - {(- 2)}^{7}}{1 - - 2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $7$ .

$2 \frac{1 - - 128}{1 - - 2}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 128$ .

$2 \frac{1 + 128}{1 - - 2}$

Passaggio 5.1.3

Somma $1$ e $128$ .

$2 \frac{129}{1 - - 2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \frac{129}{1 + 2}$

Passaggio 5.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$2 (\frac{129}{3})$

Passaggio 5.3

Dividi $129$ per $3$ .

$2 \cdot 43$

Passaggio 5.4

Moltiplica $2$ per $43$ .

$86$