Calcolo Esempi

$f (x) = x \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \cos (x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Passaggio 2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = - x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x \sin (x) + 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 (- \sin (x))$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 \sin (x)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = - (x \cos (x)) - \sin (x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $2 \sin (x)$ da $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - x \cos (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x \cos (x) - 3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 4.2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 4.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Passaggio 4.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \cos (x)$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (x (\sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Passaggio 4.4.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{4} (x) = x \sin (x) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Passaggio 4.4.2.3

Sottrai $3 \cos (x)$ da $- \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x \sin (x) - 4 \cos (x)$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x \sin (x) - 4 \cos (x)$ .

$x \sin (x) - 4 \cos (x)$