Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5

Espandi $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.4.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.6.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.6.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.5

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $2 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$