Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{3} - 8}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{3} - 8}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $3$ da ${(2 + x)}^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $8$ da $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{3} - 8}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(2 + x)}^{3} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{3}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 + x$ .

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Passaggio 1.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $3 {(2 + x)}^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {(2 + x)}^{2}}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $3 {(2 + x)}^{2}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 3 {(2 + x)}^{2}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2}$

Passaggio 2.2

Sposta l'esponente $2$ da ${(2 + x)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$3 {(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$3 {(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$3 {(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 {(2 + 0)}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Somma $2$ e $0$ .

$3 \cdot 2^{2}$

Passaggio 4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$3 \cdot 4$

Passaggio 4.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12$