Calcolo Esempi

$\sin (x + y) = y^{2} \cos (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} \cos (x))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cdot \cos (x) y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cos (x) y y'$

Passaggio 3.6

Riordina i termini.

$- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica $\cos (x + y) (1 + y')$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Passaggio 5.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Passaggio 5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Passaggio 5.1.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1.4.1

Moltiplica $\cos (x + y)$ per $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Passaggio 5.1.1.4.2

Riordina i fattori in $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y y' \cos (x)$

Passaggio 5.3

Sottrai $2 y y' \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x)$

Passaggio 5.4

Sottrai $\cos (x + y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Passaggio 5.5

Scomponi $y'$ da $y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x)$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $y'$ da $y' \cos (x + y)$ .

$y' (\cos (x + y)) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $y'$ da $- 2 y y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $y'$ da $y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x))$ .

$y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Passaggio 5.6

Dividi per $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ ciascun termine in $y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.6.1

Dividi per $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ ciascun termine in $y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ .

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Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.6.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Passaggio 5.6.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Passaggio 5.6.3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.6.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Passaggio 5.6.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- y^{2} \sin (x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Passaggio 5.6.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- \cos (x + y)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Passaggio 5.6.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Passaggio 5.6.3.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.6.3.2.5.1

Riscrivi $- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ come $- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Passaggio 5.6.3.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$