Calcolo Esempi

$x^{2} y^{2} - 2 x = 3$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x) = \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{2} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' - 2 = - 2 y^{2} x$

Passaggio 5.1.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$

Passaggio 5.2

Dividi per $2 x^{2} y$ ciascun termine in $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $2 x^{2} y$ ciascun termine in $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.2.1

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.1

Scomponi $x$ da $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Passaggio 5.2.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x^{2} y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x^{2} y}$