Calcolo Esempi

$\tan (4 x + y) = 4 x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\tan (4 x + y)) = \frac{d}{d x} (4 x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 x + y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x + y$ .

$\sec^{2} (4 x + y) \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Dividi per $\sec^{2} (4 x + y)$ ciascun termine in $\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$ e semplifica.

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Passaggio 5.1.1

Dividi per $\sec^{2} (4 x + y)$ ciascun termine in $\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$ .

$\frac{\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')}{\sec^{2} (4 x + y)} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (4 x + y)$ .

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Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')}{\sec^{2} (4 x + y)} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Dividi $4 + y'$ per $1$ .

$4 + y' = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Passaggio 5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)} - 4$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)} - 4$