Calcolo Esempi

$x y^{2} - x^{3} y = 6$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - x^{3} y) = \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{2} - x^{3} y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3} y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Passaggio 2.3.5

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + 3 y x^{2})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y') - (3 y x^{2})$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 x y y' + y^{2} - x^{3} y' - 3 y x^{2}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y$

Passaggio 3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = - y^{2}$

Passaggio 5.1.2

Somma $3 x^{2} y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y y' - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Passaggio 5.2

Scomponi $x y'$ da $2 x y y' - x^{3} y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x y'$ da $2 x y y'$ .

$x y' (2 y) - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x y'$ da $- x^{3} y'$ .

$x y' (2 y) + x y' (- x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' (2 y) + x y' (- x^{2})$ .

$x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x (2 y - x^{2})$ ciascun termine in $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $x (2 y - x^{2})$ ciascun termine in $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ .

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2 y - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (2 y - x^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{(2 y - x^{2}) x}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(2 y - x^{2}) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y^{2} + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Scomponi $y$ da $- y^{2} + 3 x y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2

Scomponi $y$ da $3 x y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5.1.3

Scomponi $y$ da $y (- y) + y (3 x \cdot x)$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.2.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 (x \cdot x))}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Scomponi $- 1$ da $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (- 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (y) - (- 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.6.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.4.1

Riscrivi $- (y - 3 x^{2})$ come $- 1 (y - 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 5.3.3.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$