Calcolo Esempi

$e^{3 t \sin (2 t)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 3 t \sin (2 t)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 t \sin (2 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 t \sin (2 t)$ .

$e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t \sin (2 t)$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ .

$e^{3 t \sin (2 t)} (3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

Passaggio 2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 t \sin (2 t)}$ .

$3 \cdot e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = \sin (2 t)$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 t$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 t$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 t)$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

Passaggio 5.5

Moltiplica $\sin (2 t)$ per $1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 e^{3 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$