Calcolo Esempi

$\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$ come ${(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = \frac{8}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{8}{x}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Passaggio 6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Passaggio 8

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.1

$8$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 9.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- x^{- 2})$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.1

$\frac{8}{3}$ e $x^{- 2}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8 x^{- 2}}{3})$

Passaggio 11.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

${(\frac{x}{8})}^{\frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Passaggio 12.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{8}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Passaggio 12.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 12.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Passaggio 12.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Passaggio 12.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 12.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Passaggio 12.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{2}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Passaggio 12.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}$ per $\frac{8}{3 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{4 (3 x^{2})}$

Passaggio 12.3.6

Moltiplica $3$ per $4$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{12 x^{2}}$

Passaggio 12.3.7

Sposta $8$ alla sinistra di $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{12 x^{2}}$

Passaggio 12.3.8

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{8}{12 x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}$

Passaggio 12.3.9

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.3.9.1

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8}{12 (x^{- \frac{2}{3}} x^{2})}$

Passaggio 12.3.9.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2}}$

Passaggio 12.3.9.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

Passaggio 12.3.9.4

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 12.3.9.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 12.3.9.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.3.9.6.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

Passaggio 12.3.9.6.2

Somma $- 2$ e $6$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 12.3.10

Scomponi $4$ da $8$ .

$- \frac{4 (2)}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 12.3.11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.3.11.1

Scomponi $4$ da $12 x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 (2)}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 12.3.11.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 \cdot 2}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 12.3.11.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$