Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} - 1) = 3$

Passaggio 1

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{2} - 1)} = e^{3}$

Passaggio 2

Riscrivi $\ln (x^{2} - 1) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} - 1$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 1 = e^{3}$ .

$x^{2} - 1 = e^{3}$

Passaggio 3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = e^{3} + 1$

Passaggio 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{e^{3} + 1}$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1^{3}}$

Passaggio 3.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = e$ e $b = 1$ .

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica.

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Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1^{2})}$

Passaggio 3.4.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Passaggio 3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Forma decimale:

$x = 4.59189905 \dots, - 4.59189905 \dots$