Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2} + 6$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Passaggio 1.2

Risolvi $\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica $\frac{1}{2} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Passaggio 1.2.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Passaggio 1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} = - x^{2} + 6$

Passaggio 1.2.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Somma $x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} = 6$

Passaggio 1.2.2.2

Per scrivere $x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} \cdot \frac{2}{2} = 6$

Passaggio 1.2.2.3

$x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

Passaggio 1.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

Passaggio 1.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x^{2}}{2} = 6$

Passaggio 1.2.2.5.2

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Passaggio 1.2.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1.1

Combina.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Passaggio 1.2.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Passaggio 1.2.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Passaggio 1.2.4.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Passaggio 1.2.4.1.1.3.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 1.2.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.7.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$y = - {(2)}^{2} + 6$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $2$ per $x$ in $y = - {(2)}^{2} + 6$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 2^{2} + 6$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $- 2^{2} + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = - 1 \cdot 4 + 6$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = - 4 + 6$

Passaggio 1.3.2.2.2

Somma $- 4$ e $6$ .

$y = 2$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

Passaggio 2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2}$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 - (\frac{x^{2}}{2}) d x$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6 d x$

Passaggio 4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

$- x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6$

Passaggio 4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} \frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6 d x$

Passaggio 4.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) - x^{2}}{2} + 6$

Passaggio 4.4.1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + 6$

Passaggio 4.4.1.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2 - 1)}{2} + 6$

Passaggio 4.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{2} (- 2 - 1)}{2} + 6$

Passaggio 4.4.1.3

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{2} + 6$

Passaggio 4.4.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} + 6$

Passaggio 4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 d x$

Passaggio 4.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Passaggio 4.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- 2}^{2} \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Passaggio 4.7

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{3}{2} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x) + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Passaggio 4.8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Passaggio 4.9

Applica la regola costante.

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + 6 x]_{- 2}^{2}$

Passaggio 4.10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3}$ per $2$ e per $- 2$ .

$- \frac{3}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{2}$

Passaggio 4.10.2

Calcola $6 x$ per $2$ e per $- 2$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.2

$\frac{1}{3}$ e $8$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.4

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{3})) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.5

$8$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{8 + 8}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.7

Somma $8$ e $8$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.8

Moltiplica $\frac{16}{3}$ per $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.9

Moltiplica $16$ per $3$ .

$- \frac{48}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{48}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.11

Elimina il fattore comune di $48$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.3.11.1

Scomponi $6$ da $48$ .

$- \frac{6 \cdot 8}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.3.11.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$- \frac{6 \cdot 8}{6 (1)} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{6 \cdot 8}{6 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{8}{1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.11.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.12

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.13

Moltiplica $6$ per $2$ .

$- 8 + 12 - 6 \cdot - 2$

Passaggio 4.10.3.14

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$- 8 + 12 + 12$

Passaggio 4.10.3.15

Somma $12$ e $12$ .

$- 8 + 24$

Passaggio 4.10.3.16

Somma $- 8$ e $24$ .

$16$

Passaggio 5