Calcolo Esempi

$y = x$ , $y = \sqrt[4]{x}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x = \sqrt[4]{x}$

Passaggio 1.2

Risolvi $x = \sqrt[4]{x}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\sqrt[4]{x} = x$

Passaggio 1.2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $4$ potenza.

${\sqrt[4]{x}}^{4} = x^{4}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x}$ come $x^{\frac{1}{4}}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = x^{4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Semplifica.

$x = x^{4}$

Passaggio 1.2.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sottrai $x^{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - x^{4} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Scomponi $x$ da $x - x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x - x^{4} = 0$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Scomponi $x$ da $- x^{4}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ .

$x (1 - x^{3}) = 0$

Passaggio 1.2.4.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

Passaggio 1.2.4.2.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Passaggio 1.2.4.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.4.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Passaggio 1.2.4.2.4.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Passaggio 1.2.4.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0 + y = \sqrt[4]{x}$

Passaggio 1.2.4.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.4.5

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.1

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 1.2.4.5.2

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 1.2.4.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 1.2.4.6

Imposta $1 + x + x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.1

Imposta $1 + x + x^{2}$ uguale a $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.6.2

Risolvi $1 + x + x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = \sqrt[4]{x}$

Passaggio 1.2.4.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1} + y = \sqrt[4]{x}$

Passaggio 1.2.4.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.4.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.2.4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ vera.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = \sqrt[4]{0}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $\sqrt[4]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt[4]{0}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$y = \sqrt[4]{0^{4}}$

Passaggio 1.3.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = \sqrt[4]{1}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $\sqrt[4]{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt[4]{1}$

Passaggio 1.4.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 1.5

Risolvi $y$ quando $x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci $x$ per $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 1.5.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 1.6

Risolvi $y$ quando $x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sostituisci $x$ per $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 1.6.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 1.7

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2

L'area tra le curve date è illimitata.

Area illimitata

Passaggio 3