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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che è dove e .
Passaggio 1.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 1.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.2.2
Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che è dove =.
Passaggio 1.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.3
Differenzia.
Passaggio 1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.6
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.7
Semplifica l'espressione.
Passaggio 1.7.1
Somma e .
Passaggio 1.7.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 1.8
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.9
Moltiplica per .
Passaggio 1.10
Semplifica.
Passaggio 1.10.1
Riordina i termini.
Passaggio 1.10.2
Riordina i fattori in .
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Calcola .
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che è dove e .
Passaggio 2.2.3
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 2.2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.2.3.2
Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che è dove =.
Passaggio 2.2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.2.4
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.5
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.2.6
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.2.7
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.8
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Passaggio 2.2.8.1
Sposta .
Passaggio 2.2.8.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.8.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.2.8.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.2.8.3
Somma e .
Passaggio 2.2.9
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 2.3
Calcola .
Passaggio 2.3.1
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 2.3.1.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 2.3.1.2
Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che è dove =.
Passaggio 2.3.1.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 2.3.2
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 2.3.4
Moltiplica per .
Passaggio 2.4
Semplifica.
Passaggio 2.4.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.4.2
Raccogli i termini.
Passaggio 2.4.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.4.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 2.4.2.3
Sposta .
Passaggio 2.4.2.4
Sottrai da .
Passaggio 2.4.3
Riordina i termini.
Passaggio 2.4.4
Riordina i fattori in .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 4.1.1
Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che è dove e .
Passaggio 4.1.2
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Passaggio 4.1.2.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 4.1.2.2
Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che è dove =.
Passaggio 4.1.2.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 4.1.3
Differenzia.
Passaggio 4.1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.1.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.1.6
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 4.1.7
Semplifica l'espressione.
Passaggio 4.1.7.1
Somma e .
Passaggio 4.1.7.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 4.1.8
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 4.1.9
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.10
Semplifica.
Passaggio 4.1.10.1
Riordina i termini.
Passaggio 4.1.10.2
Riordina i fattori in .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Scomponi da .
Passaggio 5.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.3
Scomponi da .
Passaggio 5.3
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 5.4
Imposta uguale a e risolvi per .
Passaggio 5.4.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.4.2
Risolvi per .
Passaggio 5.4.2.1
Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.
Passaggio 5.4.2.2
Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.
Indefinito
Passaggio 5.4.2.3
Non c'è soluzione per
Nessuna soluzione
Nessuna soluzione
Nessuna soluzione
Passaggio 5.5
Imposta uguale a e risolvi per .
Passaggio 5.5.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.5.2
Risolvi per .
Passaggio 5.5.2.1
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.5.2.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 5.5.2.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.5.2.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 5.5.2.2.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 5.5.2.2.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.5.2.2.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 5.5.2.2.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 5.5.2.2.3.1
Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.
Passaggio 5.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Passaggio 5.5.2.4
Semplifica .
Passaggio 5.5.2.4.1
Riscrivi come .
Passaggio 5.5.2.4.2
Qualsiasi radice di è .
Passaggio 5.5.2.4.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.2.4.4
Combina e semplifica il denominatore.
Passaggio 5.5.2.4.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.2.4.4.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.5.2.4.4.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.5.2.4.4.4
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 5.5.2.4.4.5
Somma e .
Passaggio 5.5.2.4.4.6
Riscrivi come .
Passaggio 5.5.2.4.4.6.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 5.5.2.4.4.6.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 5.5.2.4.4.6.3
e .
Passaggio 5.5.2.4.4.6.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 5.5.2.4.4.6.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.5.2.4.4.6.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.5.2.4.4.6.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 5.5.2.5
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 5.5.2.5.1
Per prima cosa, utilizza il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 5.5.2.5.2
Ora, utilizza il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 5.5.2.5.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 5.6
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Passaggio 9.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 9.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 9.1.2
Semplifica il numeratore.
Passaggio 9.1.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 9.1.2.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.1.2.3
Riscrivi come .
Passaggio 9.1.2.3.1
Scomponi da .
Passaggio 9.1.2.3.2
Riscrivi come .
Passaggio 9.1.2.4
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 9.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.1.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 9.1.4.1
Scomponi da .
Passaggio 9.1.4.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.1.4.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.1.5
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 9.1.5.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.1.5.2
Dividi per .
Passaggio 9.1.6
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 9.1.7
Riscrivi come .
Passaggio 9.1.7.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 9.1.7.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 9.1.7.3
e .
Passaggio 9.1.7.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 9.1.7.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.1.7.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.1.7.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 9.1.8
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.1.9
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 9.1.9.1
Scomponi da .
Passaggio 9.1.9.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 9.1.9.2.1
Scomponi da .
Passaggio 9.1.9.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.1.9.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.1.10
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 9.1.11
e .
Passaggio 9.1.12
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 9.1.12.1
Scomponi da .
Passaggio 9.1.12.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.1.12.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.1.13
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 9.1.14
Riscrivi come .
Passaggio 9.1.14.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 9.1.14.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 9.1.14.3
e .
Passaggio 9.1.14.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 9.1.14.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.1.14.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.1.14.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 9.1.15
Eleva alla potenza di .
Passaggio 9.1.16
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 9.1.16.1
Scomponi da .
Passaggio 9.1.16.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 9.1.16.2.1
Scomponi da .
Passaggio 9.1.16.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.1.16.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.1.17
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 9.1.18
Moltiplica .
Passaggio 9.1.18.1
e .
Passaggio 9.1.18.2
e .
Passaggio 9.1.19
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 9.2
Semplifica i termini.
Passaggio 9.2.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 9.2.2
Sottrai da .
Passaggio 9.2.3
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 10
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 11
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 11.2.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 11.2.2
Riscrivi come .
Passaggio 11.2.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 11.2.2.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 11.2.2.3
e .
Passaggio 11.2.2.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 11.2.2.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 11.2.2.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 11.2.2.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 11.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 11.2.4
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 11.2.4.1
Scomponi da .
Passaggio 11.2.4.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 11.2.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 11.2.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 11.2.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 11.2.5
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 11.2.6
Combina.
Passaggio 11.2.7
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.8
La risposta finale è .
Passaggio 12
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 13
Passaggio 13.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 13.1.1
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per distribuire l'esponente.
Passaggio 13.1.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 13.1.1.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 13.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.3
Semplifica il numeratore.
Passaggio 13.1.3.1
Riscrivi come .
Passaggio 13.1.3.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.3.3
Riscrivi come .
Passaggio 13.1.3.3.1
Scomponi da .
Passaggio 13.1.3.3.2
Riscrivi come .
Passaggio 13.1.3.4
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 13.1.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.5
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 13.1.5.1
Sposta il negativo all'inizio di nel numeratore.
Passaggio 13.1.5.2
Scomponi da .
Passaggio 13.1.5.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.1.5.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.1.6
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 13.1.6.1
Scomponi da .
Passaggio 13.1.6.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 13.1.6.2.1
Scomponi da .
Passaggio 13.1.6.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.1.6.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.1.6.2.4
Dividi per .
Passaggio 13.1.7
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per distribuire l'esponente.
Passaggio 13.1.7.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 13.1.7.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 13.1.8
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Passaggio 13.1.8.1
Sposta .
Passaggio 13.1.8.2
Moltiplica per .
Passaggio 13.1.8.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.8.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 13.1.8.3
Somma e .
Passaggio 13.1.9
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.10
Riscrivi come .
Passaggio 13.1.10.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 13.1.10.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 13.1.10.3
e .
Passaggio 13.1.10.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 13.1.10.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.1.10.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.1.10.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 13.1.11
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.12
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 13.1.12.1
Scomponi da .
Passaggio 13.1.12.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 13.1.12.2.1
Scomponi da .
Passaggio 13.1.12.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.1.12.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.1.13
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 13.1.14
e .
Passaggio 13.1.15
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 13.1.15.1
Sposta il negativo all'inizio di nel numeratore.
Passaggio 13.1.15.2
Scomponi da .
Passaggio 13.1.15.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.1.15.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.1.16
Moltiplica per .
Passaggio 13.1.17
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per distribuire l'esponente.
Passaggio 13.1.17.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 13.1.17.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 13.1.18
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Passaggio 13.1.18.1
Sposta .
Passaggio 13.1.18.2
Moltiplica per .
Passaggio 13.1.18.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.18.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 13.1.18.3
Somma e .
Passaggio 13.1.19
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.20
Riscrivi come .
Passaggio 13.1.20.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 13.1.20.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 13.1.20.3
e .
Passaggio 13.1.20.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 13.1.20.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.1.20.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.1.20.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 13.1.21
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.22
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 13.1.22.1
Scomponi da .
Passaggio 13.1.22.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 13.1.22.2.1
Scomponi da .
Passaggio 13.1.22.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.1.22.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.1.23
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 13.1.24
Moltiplica .
Passaggio 13.1.24.1
e .
Passaggio 13.1.24.2
e .
Passaggio 13.2
Semplifica i termini.
Passaggio 13.2.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 13.2.2
Somma e .
Passaggio 14
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 15
Passaggio 15.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 15.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 15.2.1
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per distribuire l'esponente.
Passaggio 15.2.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 15.2.1.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 15.2.2
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Passaggio 15.2.2.1
Sposta .
Passaggio 15.2.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.2.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 15.2.2.3
Somma e .
Passaggio 15.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.4
Riscrivi come .
Passaggio 15.2.4.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 15.2.4.2
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 15.2.4.3
e .
Passaggio 15.2.4.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 15.2.4.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 15.2.4.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 15.2.4.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 15.2.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.6
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 15.2.6.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.6.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 15.2.6.2.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.6.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 15.2.6.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 15.2.7
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 15.2.8
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.9
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 15.2.10
La risposta finale è .
Passaggio 16
Questi sono gli estremi locali per .
è un massimo locale
è un minimo locale
Passaggio 17