Calcolo Esempi

Trovare i Massimi e i Minimi Locali f(x)=x^4-12x^3
Passaggio 1
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 2
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.2.2
Scomponi da .
Passaggio 5.2.3
Scomponi da .
Passaggio 5.3
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 5.4
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.4.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.1
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 5.4.2.2
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.4.2.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 5.4.2.2.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 5.4.2.2.3
Più o meno è .
Passaggio 5.5
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.5.2
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.6
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 6
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 9.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 9.2
Somma e .
Passaggio 10
Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda o indefinita, applica il test della derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.1
Dividi in intervalli separati intorno ai valori che rendono la derivata prima o indefinita.
Passaggio 10.2
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.2.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 10.2.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.2.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.2.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 10.2.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 10.2.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 10.2.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 10.2.2.2
Sottrai da .
Passaggio 10.2.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 10.3
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.3.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 10.3.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.3.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.3.2.1.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.3.2.1.1.1
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.3.2.1.1.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 10.3.2.1.1.1.2
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 10.3.2.1.1.2
Somma e .
Passaggio 10.3.2.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 10.3.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 10.3.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 10.3.2.2
Sottrai da .
Passaggio 10.3.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 10.4
Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio , dell'intervallo nella derivata prima per controllare se il risultato è negativo o positivo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.4.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 10.4.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.4.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 10.4.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 10.4.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 10.4.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 10.4.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 10.4.2.2
Sottrai da .
Passaggio 10.4.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 10.5
Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.
Non è un minimo o un massimo locale
Passaggio 10.6
Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a , allora è un minimo locale.
è un minimo locale
è un minimo locale
Passaggio 11