Calcolo Esempi

$x y + x + y = x^{2} y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y + x + y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y + x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y + 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y + 1 + y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Passaggio 3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + y + 1 + y' = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $2 x^{2} y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + y + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $x y' + y' - 2 x^{2} y y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $x y'$ .

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Passaggio 5.3.2

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $y'$ da $- 2 x^{2} y y'$ .

$y' (x) + y' \cdot 1 + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

Passaggio 5.3.5

Scomponi $y'$ da $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

Passaggio 5.3.6

Scomponi $y'$ da $y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y)$ .

$y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $x + 1 - 2 x^{2} y$ ciascun termine in $y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $x + 1 - 2 x^{2} y$ ciascun termine in $y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ .

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 1 - 2 x^{2} y$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Passaggio 5.4.3.2

Riduci in una frazione.

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Passaggio 5.4.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 y^{2} x - y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$