Calcolo Esempi

$lim_{x \to 81} \frac{\sqrt{x} - 9}{x - 81}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 81} \sqrt{x} - 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$81$ .

$\frac{lim_{x \to 81} \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 81} x} - lim_{x \to 81} 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di

$9$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$81$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 81} x} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di

$x$ inserendo

$81$ per

$x$ .

$\frac{\sqrt{81} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Riscrivi

$81$ come

$9^{2}$ .

$\frac{\sqrt{9^{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica

$- 1$ per

$9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai

$9$ da

$9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$81$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - lim_{x \to 81} 81}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di

$81$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$81$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 81}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di

$x$ inserendo

$81$ per

$x$ .

$\frac{0}{81 - 1 \cdot 81}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica

$- 1$ per

$81$ .

$\frac{0}{81 - 81}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai

$81$ da

$81$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per

$0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per

$0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per

$0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché

$\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 81} \frac{\sqrt{x} - 9}{x - 81} = lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$\sqrt{x} - 9$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{x}$ come

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.3.3

Per scrivere

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.3.4

$- 1$ e

$\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.6.1

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.3.6.2

Sottrai

$2$ da

$1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché

$- 9$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 9$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.5.2.2

Somma

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e

$0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di

$x - 81$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 81]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché

$- 81$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 81$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma

$1$ e

$0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 81} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 1.5

Riscrivi

$x^{\frac{1}{2}}$ come

$\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Passaggio 1.6

Moltiplica

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per

$1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il termine

$\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 81} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando

$x$ tende a

$81$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 81} 1}{lim_{x \to 81} \sqrt{x}}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di

$1$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$81$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 81} \sqrt{x}}$

Passaggio 2.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 81} x}}$

Passaggio 3

Calcola il limite di

$x$ inserendo

$81$ per

$x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{81}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi

$81$ come

$9^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9^{2}}}$

Passaggio 4.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Passaggio 4.2

Moltiplica

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica

$\frac{1}{2}$ per

$\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 9}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica

$2$ per

$9$ .

$\frac{1}{18}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{18}$

Forma decimale:

$0.0\overline{5}$