Calcolo Esempi

$\int {(e^{t} + 1)}^{2} d t$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(e^{t} + 1)}^{2}$ come $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$\int (e^{t} + 1) (e^{t} + 1) d t$

Passaggio 1.2

Espandi $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1) d t$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1) d t$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $e^{t}$ per $e^{t}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Passaggio 1.3.1.1.2

Somma $t$ e $t$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $e^{t}$ per $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $e^{t}$ per $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 d t$

Passaggio 1.3.2

Somma $e^{t}$ e $e^{t}$ .

$\int e^{2 t} + 2 e^{t} + 1 d t$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{2 t} d t + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Passaggio 3

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Passaggio 4

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{t} d t + \int d t$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{t}$ rispetto a $t$ è $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + \int d t$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + t + C$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{t} + t + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{2} e^{2 t} + 2 e^{t} + t + C$