Calcolo Esempi

$\int_{1}^{7} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x^{3}} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{\ln (x^{2})}{x^{3}}$ come $\frac{2 \ln (x)}{x^{3}}$ .

$\int_{1}^{7} \frac{2 \ln (x)}{x^{3}} d x$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{1}^{7} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{- 3} d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 3}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x)$

Passaggio 5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x)$

Passaggio 5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x)$

Passaggio 5.5

Somma $1$ e $2$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - - \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + 1 \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ per $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Passaggio 9

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x)$

Passaggio 9.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x)$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{- 3} d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{7})$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

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Passaggio 11.1.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7})$

Passaggio 11.1.2

$\frac{1}{2}$ e $- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}}{2})$

Passaggio 11.1.3

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Passaggio 11.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.2.1

Calcola $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ per $7$ e per $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Passaggio 11.2.2

Calcola $- \frac{1}{2 x^{2}}$ per $7$ e per $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Passaggio 11.2.3

Semplifica.

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Passaggio 11.2.3.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 49} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $2$ per $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Passaggio 11.2.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Passaggio 11.2.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Passaggio 11.2.3.5

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Passaggio 11.2.3.6

Moltiplica $2$ per $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Passaggio 11.2.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1}}{2})$

Passaggio 11.2.3.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}}{2})$

Passaggio 11.2.3.9

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{49}}{2})$

Passaggio 11.2.3.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $98$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 11.2.3.10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{2 \cdot 49}}{2})$

Passaggio 11.2.3.10.2

Moltiplica $2$ per $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}}{2})$

Passaggio 11.2.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{- 1 + 49}{98}}{2})$

Passaggio 11.2.3.12

Somma $- 1$ e $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{48}{98}}{2})$

Passaggio 11.2.3.13

Elimina il fattore comune di $48$ e $98$ .

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Passaggio 11.2.3.13.1

Scomponi $2$ da $48$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 (24)}{98}}{2})$

Passaggio 11.2.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.2.3.13.2.1

Scomponi $2$ da $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Passaggio 11.2.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Passaggio 11.2.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{24}{49}}{2})$

Passaggio 11.2.3.14

Riscrivi $\frac{\frac{24}{49}}{2}$ come un prodotto.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 11.2.3.15

Moltiplica $\frac{24}{49}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49 \cdot 2})$

Passaggio 11.2.3.16

Moltiplica $49$ per $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{98})$

Passaggio 11.2.3.17

Elimina il fattore comune di $24$ e $98$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.17.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 (12)}{98})$

Passaggio 11.2.3.17.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.17.2.1

Scomponi $2$ da $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Passaggio 11.2.3.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Passaggio 11.2.3.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{12}{49})$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{0}{2} + \frac{12}{49})$

Passaggio 12.1.2

Dividi $0$ per $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + 0 + \frac{12}{49})$

Passaggio 12.2

Somma $- \frac{\ln (7)}{98}$ e $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{12}{49})$

Passaggio 12.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98}) + 2 (\frac{12}{49})$

Passaggio 12.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (7)}{98}$ nel numeratore.

$2 \frac{- \ln (7)}{98} + 2 (\frac{12}{49})$

Passaggio 12.4.2

Scomponi $2$ da $98$ .

$2 \frac{- \ln (7)}{2 (49)} + 2 (\frac{12}{49})$

Passaggio 12.4.3

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{- \ln (7)}{2 \cdot 49} + 2 (\frac{12}{49})$

Passaggio 12.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \ln (7)}{49} + 2 (\frac{12}{49})$

Passaggio 12.5

Moltiplica $2 (\frac{12}{49})$ .

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Passaggio 12.5.1

$2$ e $\frac{12}{49}$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{2 \cdot 12}{49}$

Passaggio 12.5.2

Moltiplica $2$ per $12$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Passaggio 12.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Forma decimale:

$0.45008346 \dots$