Calcolo Esempi

$\int \frac{5 x^{5} + 5 x^{2} + 10}{x^{3} - x} d x$

Passaggio 1

Dividi $5 x^{5} + 5 x^{2} + 10$ per $x^{3} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{5}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{5} + 0 - 5 x^{3} + 0$

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Passaggio 1.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{3} + 0 - 5 x + 0$

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10$

Passaggio 1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 5 x^{2} + 5 + \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5 x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Passaggio 3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Passaggio 6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Passaggio 7

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Scomponi $5$ da $5 x^{2} + 5 x + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1.1

Scomponi $5$ da $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 10}{x^{3} - x}$

Passaggio 7.1.1.1.2

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (x) + 10}{x^{3} - x}$

Passaggio 7.1.1.1.3

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

Passaggio 7.1.1.1.4

Scomponi $5$ da $5 (x^{2}) + 5 x$ .

$\frac{5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

Passaggio 7.1.1.1.5

Scomponi $5$ da $5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x^{3} - x}$

Passaggio 7.1.1.2

Scomponi $x$ da $x^{3} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} - x}$

Passaggio 7.1.1.2.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Passaggio 7.1.1.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1)}$

Passaggio 7.1.1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Passaggio 7.1.1.4

Scomponi.

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Passaggio 7.1.1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Passaggio 7.1.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Passaggio 7.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.7

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.7.2

Dividi $5 (x^{2} + x + 2)$ per $1$ .

$5 (x^{2} + x + 2) = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.9

Moltiplica $5$ per $2$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.10.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.10.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.1.2

Dividi $A ((x + 1) (x - 1))$ per $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.2

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.10.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.10.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.10.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.3.2

Somma $- x$ e $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.3.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.4

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.6

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.7

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.10.7.1

Elimina il fattore comune.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.7.2

Dividi $(B) (x (x - 1))$ per $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.8

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.9

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.10

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.11

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.12

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.13

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.14

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.10.14.1

Elimina il fattore comune.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 7.1.10.14.2

Dividi $(C) (x (x + 1))$ per $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Passaggio 7.1.10.15

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Passaggio 7.1.10.16

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Passaggio 7.1.10.17

Moltiplica $x$ per $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Passaggio 7.1.10.18

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Passaggio 7.1.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.11.1

Sposta $B$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Passaggio 7.1.11.2

Sposta $- A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Passaggio 7.1.11.3

Sposta $- x B$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Passaggio 7.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = A + B + C$

Passaggio 7.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = - 1 B + C$

Passaggio 7.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$10 = - 1 A$

Passaggio 7.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

Passaggio 7.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Risolvi per $A$ in $10 = - 1 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 A = 10$ .

$- 1 A = 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Passaggio 7.3.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = 10$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Passaggio 7.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Passaggio 7.3.1.2.2.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Passaggio 7.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.3.1

Dividi $10$ per $- 1$ .

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Passaggio 7.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 10$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $5 = A + B + C$ con $- 10$ .

$5 = (- 10) + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Passaggio 7.3.3

Risolvi per $B$ in $5 = - 10 + B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 10 + B + C = 5$ .

$- 10 + B + C = 5$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Passaggio 7.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B + C = 5 + 10$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Passaggio 7.3.3.2.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 5 + 10 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Passaggio 7.3.3.2.3

Somma $5$ e $10$ .

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Passaggio 7.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $15 - C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $5 = - 1 B + C$ con $15 - C$ .

$5 = - 1 (15 - C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.2.1

Semplifica $- 1 (15 - C) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 = - 1 \cdot 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.4.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$5 = - 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.4.2.1.1.3

Moltiplica $- 1 (- C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$5 = - 15 + 1 C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.4.2.1.1.3.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.4.2.1.2

Somma $C$ e $C$ .

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.5

Risolvi per $C$ in $5 = - 15 + 2 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 15 + 2 C = 5$ .

$- 15 + 2 C = 5$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.2.1

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 C = 5 + 15$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.5.2.2

Somma $5$ e $15$ .

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = 20$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 C = 20$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.5.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.3.3.1

Dividi $20$ per $2$ .

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $10$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = 15 - C$ con $10$ .

$B = 15 - (10)$

$C = 10$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.6.2.1

Semplifica $15 - (10)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$B = 15 - 10$

$C = 10$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.6.2.1.2

Sottrai $10$ da $15$ .

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

Passaggio 7.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 5, C = 10, A = - 10$

Passaggio 7.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}$

Passaggio 7.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1} d x$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - \int \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Passaggio 10

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Passaggio 11

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Passaggio 13

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Passaggio 14

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 14.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 14.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 14.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 14.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 14.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Passaggio 15

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Passaggio 16

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 17

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 17.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 17.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 17.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 17.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 17.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 18

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 19

Semplifica.

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| u_{1} |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 20

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 20.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$

Passaggio 21

Riordina i termini.

$\frac{5}{3} x^{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$