Calcolo Esempi

$\int (2 x - 1) \ln (7 x) d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 2 x \ln (7 x) - 1 \ln (7 x) d x$

Passaggio 1.2

Semplifica $2 \ln (7 x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - 1 \ln (7 x) d x$

Passaggio 1.3

Riscrivi $- 1 \ln (7 x)$ come $- \ln (7 x)$ .

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - \ln (7 x) d x$

Passaggio 1.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1

Applica la regola del prodotto a $7 x$ .

$\int x \ln (7^{2} x^{2}) - \ln (7 x) d x$

Passaggio 1.4.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\int x \ln (49 x^{2}) - \ln (7 x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x \ln (49 x^{2}) d x + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (49 x^{2})$ e $d v = x$ .

$\ln (49 x^{2}) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (49 x^{2}) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 4.2

$\ln (49 x^{2})$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$x^{2}$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 \cdot x^{2}}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 6.3.1

Scomponi $x$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 6.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 6.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 6.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 6.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 6.3.2.5

Dividi $2 x$ per $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int 2 x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 2 x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 8.2

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 8.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 8.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 8.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 8.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 8.3.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - \int \ln (7 x) d x$

Passaggio 12

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (7 x)$ e $d v = 1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int d x)$

Passaggio 14

Applica la regola costante.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - (x + C))$

Passaggio 15

Semplifica.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln (7 x) x + x + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \ln (49 x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (7 x) x + x + C$