Calcolo Esempi

$\int \frac{5 x + 2}{2 x^{2} + 7 x - 4} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ e la cui somma è $b = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} + 7 (x) - 4}$

Passaggio 1.1.1.1.2

Riscrivi $7$ come $- 1$ più $8$ .

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4}$

Passaggio 1.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4}$

Passaggio 1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{5 x + 2}{(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{5 x + 2}{x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$\frac{5 x + 2}{(2 x - 1) (x + 4)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(2 x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{(5 x + 2) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x + 2) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(5 x + 2) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x + 2) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.1.6.2

Dividi $5 x + 2$ per $1$ .

$5 x + 2 = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 x + 2 = \frac{A (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 4)$ per $1$ .

$5 x + 2 = (A) (x + 4) + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 2 = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$5 x + 2 = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$5 x + 2 = A x + 4 A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Passaggio 1.1.7.4.2

Dividi $(B) (2 x - 1)$ per $1$ .

$5 x + 2 = A x + 4 A + (B) (2 x - 1)$

Passaggio 1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 2 = A x + 4 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Passaggio 1.1.7.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x + B \cdot - 1$

Passaggio 1.1.7.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x - 1 \cdot B$

Passaggio 1.1.7.8

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x - B$

Passaggio 1.1.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.8.1

Sposta $B$ .

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 x B - B$

Passaggio 1.1.8.2

Sposta $4 A$ .

$5 x + 2 = A x + 2 x B + 4 A - B$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = A + 2 B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = 4 A - 1 B$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$5 = A + 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

$5 = A + 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $5 = A + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + 2 B = 5$ .

$A + 2 B = 5$

$2 = 4 A - 1 B$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $2 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 5 - 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $5 - 2 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $2 = 4 A - 1 B$ con $5 - 2 B$ .

$2 = 4 (5 - 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $4 (5 - 2 B) - 1 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 = 4 \cdot 5 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$2 = 20 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$2 = 20 - 8 B - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.4

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$2 = 20 - 8 B - B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 8 B - B$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Sottrai $B$ da $- 8 B$ .

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $2 = 20 - 9 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $20 - 9 B = 2$ .

$20 - 9 B = 2$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $20$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 9 B = 2 - 20$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $20$ da $2$ .

$- 9 B = - 18$

$A = 5 - 2 B$

$- 9 B = - 18$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 B = - 18$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 B = - 18$ .

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Dividi $- 18$ per $- 9$ .

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 5 - 2 B$ con $2$ .

$A = 5 - 2 \cdot 2$

$B = 2$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $5 - 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$A = 5 - 4$

$B = 2$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Sottrai $4$ da $5$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 1, B = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{2 x - 1} + \frac{2}{x + 4}$

Passaggio 1.5

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$\int \frac{1}{2 x - 1} + \frac{2}{x + 4} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 2 x - 1$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Passaggio 4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{x + 4} d x$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = x + 4$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = x + 4$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 4$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 2 \ln (| x + 4 |) + C$