Calcolo Esempi

$8 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Metti in evidenza $\sin^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (t)$ come $1 - \cos^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Sia $u = \cos (t)$ . Allora $d u = - \sin (t) d t$ , quindi $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = \cos (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 5.1.2

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Passaggio 5.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 5.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$8 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 6

Moltiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$8 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $- 1 u^{2}$ come $- u^{2}$ .

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 7.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$8 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$8 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Passaggio 11

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

Passaggio 13

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 14.1

Calcola $\frac{u^{3}}{3}$ per $0$ e per $1$ .

$8 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Passaggio 14.2

Calcola $\frac{u^{5}}{5}$ per $0$ e per $1$ .

$8 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3

Semplifica.

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Passaggio 14.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$8 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

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Passaggio 14.3.2.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$8 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 14.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$8 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$8 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.4

Sottrai $\frac{1}{3}$ da $0$ .

$8 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$8 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.6

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.8

Elimina il fattore comune di $0$ e $5$ .

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Passaggio 14.3.8.1

Scomponi $5$ da $0$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.8.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.8.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$8 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

Passaggio 14.3.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$8 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

Passaggio 14.3.10

Sottrai $\frac{1}{5}$ da $0$ .

$8 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Passaggio 14.3.11

Per scrivere $\frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$8 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Passaggio 14.3.12

Per scrivere $- \frac{1}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 14.3.13

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 14.3.13.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$8 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 14.3.13.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$8 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 14.3.13.3

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Passaggio 14.3.13.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$8 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Passaggio 14.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 \frac{5 - 3}{15}$

Passaggio 14.3.15

Sottrai $3$ da $5$ .

$8 (\frac{2}{15})$

Passaggio 14.3.16

$8$ e $\frac{2}{15}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{15}$

Passaggio 14.3.17

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{16}{15}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{16}{15}$

Forma decimale:

$1.0\overline{6}$

Forma numero misto:

$1 \frac{1}{15}$

Passaggio 16