Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 2 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 2 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $4$ da $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $4 \cos^{2} (t)$ come ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $2 \cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2 \cos (t)$ da ${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

Passaggio 2.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 2.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

Passaggio 4

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ a $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Poiché la derivata di $- \cot (t)$ è $\csc^{2} (t)$ , l'integrale di $\csc^{2} (t)$ è $- \cot (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{4}$ e $\cot (t)$ .

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (\frac{x}{2})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Perciò, $\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ è $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.9

Moltiplica $\frac{2 + x}{2}$ per $\frac{2 - x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.11

Riscrivi $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

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Passaggio 8.1.11.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(2 + x) (2 - x)$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.11.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.11.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.12

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.13

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.14

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.1.14.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.14.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.15

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

Passaggio 8.4

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$