Calcolo Esempi

$\int_{1}^{5} w^{2} \ln (w) d w$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (w)$ e $d v = w^{2}$ .

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{3}$ e $w^{3}$ .

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Passaggio 2.2

$\ln (w)$ e $\frac{w^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $w$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$w^{3}$ e $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{3}}{w} d w)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $w^{3}$ e $w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $w$ da $w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $w$ da $w^{1}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{2}}{1} d w)$

Passaggio 4.2.2.5

Dividi $w^{2}$ per $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $w^{2}$ rispetto a $w$ è $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ per $5$ e per $1$ .

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

Passaggio 6.2

Calcola $\frac{1}{3} w^{3}$ per $5$ e per $1$ .

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\ln (5) \cdot 125}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3.2

Sposta $125$ alla sinistra di $\ln (5)$ .

$\frac{125 \cdot \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3.4

Moltiplica $\ln (1)$ per $1$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3.5

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3.6

$\frac{1}{3}$ e $125$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Passaggio 6.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Passaggio 6.3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3})$

Passaggio 6.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{125 - 1}{3}$

Passaggio 6.3.10

Sottrai $1$ da $125$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{124}{3}$

Passaggio 6.3.11

Moltiplica $\frac{124}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{3 \cdot 3}$

Passaggio 6.3.12

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{9}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{125 \ln (5) - \ln (1)}{3} + \frac{- 124}{9}$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{125 \ln (5) - 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{125 \ln (5) + 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

Passaggio 7.3

Somma $125 \ln (5)$ e $0$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} + \frac{- 124}{9}$

Passaggio 7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

Forma decimale:

$53.28213524 \dots$