Calcolo Esempi

$\int x \sqrt[3]{6 x + 7} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sqrt[3]{6 x + 7}$ .

$x (\frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{8}$ e ${(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{{(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{{(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - (\frac{1}{8} \int {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Passaggio 4

Sia $u = 6 x + 7$ . Allora $d u = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 6 x + 7$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $6 x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 7]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.4.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $6$ e $0$ .

$6$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} \int u^{\frac{4}{3}} \frac{1}{6} d u$

Passaggio 5

$u^{\frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{6} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} (\frac{1}{6} \int u^{\frac{4}{3}} d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{6 \cdot 8} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $6$ per $8$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$ come $\frac{1}{8} x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$ .

$\frac{1}{8} x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$\frac{1}{8}$ e $x$ .

$\frac{x}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 9.2.2

$\frac{x}{8}$ e ${(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $\frac{3}{7}$ per $\frac{1}{48}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3}{7 \cdot 48} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $7$ per $48$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3}{336} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 9.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ e $336$ .

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Passaggio 9.2.5.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 (1)}{336} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 9.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $336$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 112} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 9.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 112} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 9.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 9.2.6

Per scrivere $- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot \frac{8}{8} + C$

Passaggio 9.2.7

$- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}}$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot 8}{8} + C$

Passaggio 9.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot 8}{8} + C$

Passaggio 9.2.9

$u^{\frac{7}{3}}$ e $\frac{1}{112}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{112} \cdot 8}{8} + C$

Passaggio 9.2.10

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{u^{\frac{7}{3}}}{112}}{8} + C$

Passaggio 9.2.11

$- 8$ e $\frac{u^{\frac{7}{3}}}{112}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 u^{\frac{7}{3}}}{112}}{8} + C$

Passaggio 9.2.12

Scomponi $8$ da $- 8 u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{112}}{8} + C$

Passaggio 9.2.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.13.1

Scomponi $8$ da $112$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{8 (14)}}{8} + C$

Passaggio 9.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{8 \cdot 14}}{8} + C$

Passaggio 9.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Passaggio 9.2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Passaggio 9.2.15

Per scrivere $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{14}{14}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{14}{14} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Passaggio 9.2.16

$x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ e $\frac{14}{14}$ .

$\frac{\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot 14}{14} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Passaggio 9.2.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot 14 - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Passaggio 9.2.18

Sposta $14$ alla sinistra di $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{\frac{14 \cdot (x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}) - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Passaggio 9.2.19

Riscrivi $\frac{\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8}$ come un prodotto.

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14} \cdot \frac{1}{8} + C$

Passaggio 9.2.20

Moltiplica $\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14 \cdot 8} + C$

Passaggio 9.2.21

Moltiplica $14$ per $8$ .

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x + 7$ .

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - {(6 x + 7)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$\frac{1}{112} (14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - {(6 x + 7)}^{\frac{7}{3}}) + C$