Calcolo Esempi

$\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{2}$ per $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x^{2} + 1$ da $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 14

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$4 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 16

$4$ e $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 17

Semplifica.

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Passaggio 17.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 17.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 17.2.1

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 17.2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 17.3

Scomponi $4$ da $- 12 x^{2} + 4$ .

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Passaggio 17.3.1

Scomponi $4$ da $- 12 x^{2}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 17.3.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 17.3.3

Scomponi $4$ da $4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 17.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{4 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 17.5

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 17.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 17.7

Riscrivi $- (3 x^{2} - 1)$ come $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 17.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$