Calcolo Esempi

x^{2} + y^{2} = - 18 x

$x^{2} + y^{2} = - 18 x$

Passaggio 1

Solve the equation as

y

$y$ in terms of

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai

x^{2}

$x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

y^{2} = - 18 x - x^{2}

$y^{2} = - 18 x - x^{2}$

Passaggio 1.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

y = \pm \sqrt{- 18 x - x^{2}}

$y = \pm \sqrt{- 18 x - x^{2}}$

Passaggio 1.3

Scomponi

x

$x$ da

- 18 x - x^{2}

$- 18 x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi

x

$x$ da

- 18 x

$- 18 x$ .

y = \pm \sqrt{x \cdot - 18 - x^{2}}

$y = \pm \sqrt{x \cdot - 18 - x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Scomponi

x

$x$ da

- x^{2}

$- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot - 18 + x (- x)}$

Passaggio 1.3.3

Scomponi

$x$ da

$x \cdot - 18 + x (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{x (- 18 - x)}$

Passaggio 1.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{x (- 18 - x)}$

Passaggio 1.4.2

Ora, usa il valore negativo del

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

Passaggio 1.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{x (- 18 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

$y = \sqrt{x (- 18 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

$y = \sqrt{x (- 18 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

Passaggio 2

Set each solution of

$y$ as a function of

$x$ .

$y = \sqrt{x (- 18 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (- 18 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

Passaggio 3

Because the

$y$ variable in the equation

$x^{2} + y^{2} = - 18 x$ has a degree greater than

$1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative

$\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di

$x^{2} + y^{2}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Calcola

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = x^{2}$ e

$g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è

$n u^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi

$\frac{d}{d x} [y]$ come

$y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Passaggio 3.2.3

Riordina i termini.

$2 y y' + 2 x$

Passaggio 3.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché

$- 18$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 18 x$ rispetto a

$x$ è

$- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$- 18 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica

$- 18$ per

$1$ .

$- 18$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' + 2 x = - 18$

Passaggio 3.5

Risolvi per

$y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sottrai

$2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' = - 18 - 2 x$

Passaggio 3.5.2

Dividi per

$2 y$ ciascun termine in

$2 y y' = - 18 - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividi per

$2 y$ ciascun termine in

$2 y y' = - 18 - 2 x$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.2.2.2

Dividi

$y'$ per

$1$ .

$y' = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di

$- 18$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1.1

Scomponi

$2$ da

$- 18$ .

$y' = \frac{2 \cdot - 9}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1.2.1

Scomponi

$2$ da

$2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot - 9}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 \cdot - 9}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 9}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di

$- 2$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.3.1

Scomponi

$2$ da

$- 2 x$ .

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.3.2.1

Scomponi

$2$ da

$2 y$ .

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Passaggio 3.5.2.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Passaggio 3.5.2.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{- x}{y}$

Passaggio 3.5.2.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{9}{y} - \frac{x}{y}$

Passaggio 3.6

Sostituisci

$y'$ con

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9}{y} - \frac{x}{y}$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a

$0$ quindi risolvi l'equazione

$- \frac{9}{y} - \frac{x}{y} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma

$\frac{9}{y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{x}{y} = \frac{9}{y}$

Passaggio 4.2

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$- x = 9$

Passaggio 4.3

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- x = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi per

$- 1$ ciascun termine in

$- x = 9$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{9}{- 1}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{9}{- 1}$

Passaggio 4.3.2.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x = \frac{9}{- 1}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Dividi

$9$ per

$- 1$ .

$x = - 9$

Passaggio 5

Solve the function

$f (x) = \sqrt{x (- 18 - x)}$ at

$x = - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 9$ nell'espressione.

$f (- 9) = \sqrt{(- 9) (- 18 - (- 9))}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 9$ .

$f (- 9) = \sqrt{- 9 (- 18 + 9)}$

Passaggio 5.2.2

Somma

$- 18$ e

$9$ .

$f (- 9) = \sqrt{- 9 \cdot - 9}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica

$- 9$ per

$- 9$ .

$f (- 9) = \sqrt{81}$

Passaggio 5.2.4

Riscrivi

$81$ come

$9^{2}$ .

$f (- 9) = \sqrt{9^{2}}$

Passaggio 5.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 9) = 9$

Passaggio 5.2.6

La risposta finale è

$9$ .

$9$

Passaggio 6

Solve the function

$f (x) = - \sqrt{x (- 18 - x)}$ at

$x = - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 9$ nell'espressione.

$f (- 9) = - \sqrt{(- 9) (- 18 - (- 9))}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 9$ .

$f (- 9) = - \sqrt{- 9 (- 18 + 9)}$

Passaggio 6.2.2

Somma

$- 18$ e

$9$ .

$f (- 9) = - \sqrt{- 9 \cdot - 9}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica

$- 9$ per

$- 9$ .

$f (- 9) = - \sqrt{81}$

Passaggio 6.2.4

Riscrivi

$81$ come

$9^{2}$ .

$f (- 9) = - \sqrt{9^{2}}$

Passaggio 6.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 9) = - 1 \cdot 9$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica

$- 1$ per

$9$ .

$f (- 9) = - 9$

Passaggio 6.2.7

La risposta finale è

$- 9$ .

$- 9$

Passaggio 7

The horizontal tangent lines are

$y = 9, y = - 9$

Passaggio 8