Calcolo Esempi

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Passaggio 1.1.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Passaggio 1.1.9

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Passaggio 1.1.10.2

$2$ e $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Passaggio 1.1.10.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Passaggio 1.1.10.4

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{1}}}$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 4} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 4})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2} - 4}$ come ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$27 (x^{2} - 4) = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 4 = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.6

Moltiplica $27$ per $- 4$ .

$27 x^{2} - 108 = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x^{2} - 108 = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Somma $108$ a entrambi i lati dell'equazione.

$27 x^{2} = 108$

Passaggio 3.3.3.2

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 108$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 108$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Passaggio 3.3.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{108}{27}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Dividi $108$ per $27$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 3.3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.3.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 3.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 3.3.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 3.3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 3.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Passaggio 4

Risolvi ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

${({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(0 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

${(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- 2$ .

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$0^{2}$

Passaggio 4.2.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

${({(2)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$0^{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, {(- 4)}^{\frac{2}{3}}), (- 2, 0), (2, 0)$

Passaggio 5