Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 6 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 6 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $4 x^{3} - 6 x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$2 x^{2} (2 x) - 6 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 6 x^{2}$ .

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3)$ .

$2 x^{2} (2 x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

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Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x^{2} (2 x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{3}{2}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{4} - 2 x^{3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{4} - 2 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 2 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{3}{2}$ a $x$ .

${(\frac{3}{2})}^{4} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3^{4}}{2^{4}} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{81}{2^{4}} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{81}{16} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{16} - 2 \frac{3^{3}}{2^{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{81}{16} - 2 \frac{27}{2^{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{81}{16} - 2 (\frac{27}{8})$

Passaggio 4.2.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.2.1.7.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{81}{16} + 2 (- 1) \frac{27}{8}$

Passaggio 4.2.2.1.7.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{27}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.2.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{27}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.2.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{81}{16} - 1 (\frac{27}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.8

Riscrivi $- 1 (\frac{27}{4})$ come $- (\frac{27}{4})$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4}$

Passaggio 4.2.2.2

Per scrivere $- \frac{27}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 4.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{27}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 4.2.2.3.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{16}$

Passaggio 4.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{81 - 27 \cdot 4}{16}$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.2.5.1

Moltiplica $- 27$ per $4$ .

$\frac{81 - 108}{16}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Sottrai $108$ da $81$ .

$\frac{- 27}{16}$

Passaggio 4.2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{27}{16}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{27}{16})$

Passaggio 5