Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \sqrt{25 x^{2} + x} - 5 x$

Passaggio 1

Moltiplica per razionalizzare il numeratore.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{25 x^{2} + x} - 5 x) (\sqrt{25 x^{2} + x} + 5 x)}{\sqrt{25 x^{2} + x} + 5 x}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Espandi il numeratore usando il metodo FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{25 x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{25 x^{2} + x} (5 x) + \sqrt{25 x^{2} + x} (- 5 x) - 25 x^{2}}{\sqrt{25 x^{2} + x} + 5 x}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $25 x^{2}$ da $25 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 0}{\sqrt{25 x^{2} + x} + 5 x}$

Passaggio 2.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + x} + 5 x}$

Passaggio 3

Scomponi $x$ da $25 x^{2} + x$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $x$ da $25 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (25 x) + x} + 5 x}$

Passaggio 3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (25 x) + x^{1}} + 5 x}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (25 x) + x \cdot 1} + 5 x}$

Passaggio 3.4

Scomponi $x$ da $x (25 x) + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (25 x + 1)} + 5 x}$

Passaggio 4

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (25 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}$

Passaggio 5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (25 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (25 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (25 x + 1)}{x^{2}}} + 5}$

Passaggio 6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (25 x + 1)}{x \cdot x}} + 5}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (25 x + 1)}{x \cdot x}} + 5}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{25 x + 1}{x}} + 5}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{25 x + 1}{x}} + 5}$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{25 x + 1}{x}} + 5}$

Passaggio 7.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{25 x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Passaggio 7.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{25 x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Passaggio 8

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{25 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Passaggio 9

Calcola il limite.

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Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{25 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Passaggio 9.1.2

Dividi $25$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{25 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{25 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{25 + \frac{1}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Passaggio 9.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Passaggio 9.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 25 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Passaggio 9.5

Calcola il limite di $25$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{25 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Passaggio 10

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{25 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Passaggio 11

Calcola il limite.

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Passaggio 11.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{25 + 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Passaggio 11.2

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{25 + 0}{1}} + 5}$

Passaggio 11.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 11.3.1

Dividi $25 + 0$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{25 + 0} + 5}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 11.3.2.1

Somma $25$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{25} + 5}$

Passaggio 11.3.2.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5^{2}} + 5}$

Passaggio 11.3.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{5 + 5}$

Passaggio 11.3.2.4

Somma $5$ e $5$ .

$\frac{1}{10}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{10}$

Forma decimale:

$0.1$