Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} + 6 x - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $12 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $6$ da $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $6$ da $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ .

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 5.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 1, - 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, - 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (1) + 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 + 6$

Passaggio 9.2

Somma $12$ e $6$ .

$18$

Passaggio 10

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = 2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 12 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 12$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $2$ e $3$ .

$f (1) = 5 - 12$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $12$ da $5$ .

$f (1) = - 7$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 7$ .

$y = - 7$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (- 2) + 6$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $12$ per $- 2$ .

$- 24 + 6$

Passaggio 13.2

Somma $- 24$ e $6$ .

$- 18$

Passaggio 14

$x = - 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$f (- 2) = - 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = - 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 12 - 12 \cdot - 2$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $- 12$ per $- 2$ .

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 16$ e $12$ .

$f (- 2) = - 4 + 24$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $- 4$ e $24$ .

$f (- 2) = 20$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $20$ .

$y = 20$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ .

$(1, - 7)$ è un minimo locale

$(- 2, 20)$ è un massimo locale

Passaggio 17